|
|
 |
Условие
Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.Решение
Пусть прямые $AC$ и $BF$ пересекаются в точке $H$, а прямые $BD$ и $AF$ – в точке $G$.Прямая $AB$ касается описанной вокруг $CAE$ окружности, значит, $(CA, CE) = (AB, AE)$. Четырехугольник $ABEF$ вписанный, следовательно,$(AB, AE) = (FB, FE)$. Получаем, что $$(CH, CE) = (CA, CE) = (AB, AE) = (FB, FE) = (FH, FE)$$ $$(CH, CE) = (FH, FE)$$ Значит, четырехугольник $CHFE$ вписанный. Аналогичными рассуждениями получаем, что четырехугольник $DGFE$ вписанный. По условию, $CFED$ – вписанный. Значит, точки $C$, $D$, $E$, $F$, $H$, $G$ лежат на одной окружности (см. рис.).
Рассмотрим вписанный шестиугольник $FFHCDG$ и применим к нему теорему Паскаля. Получаем, что точки пересечения пар прямых $FF$ и $CD$, $FH$ и $DG$, $HC$ и $GF$ коллинеарны (в данном случае прямая $FF$ – это касательная в точке $F$ к окружности $CFD$, обозначим эту прямую $l$). То есть точки $A$, $B$ и точка пересечения $l$ и $CD$ лежат на одной прямой. Но $AB\parallel CD$, значит, $l\parallel CD$, а отсюда следует, что $F$ – середина дуги $CD$.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2018 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 7 [8-9 кл] |
