ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66657
Темы:    [ Преобразования плоскости (прочее) ]
[ Биссектриса угла ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рябов П.

В треугольнике $ABC$, где $AB < BC$, биссектриса угла $C$ пересекает в точке $P$ прямую, параллельную $AC$ и проходящую через вершину $B$, а в точке $R$ – касательную из вершины $B$ к описанной окружности треугольника. Точка $R'$ симметрична $R$ относительно $AB$. Докажите, что $\angle R'PB = \angle RPA$.

Решение

Поскольку прямые $BR$ и $BP$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$, точки $P$ и $R$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABC$. Поэтому $\angle R'AB = \angle RAB = \pi - \angle CAP$, т.е прямые $AR'$ и $AC$ симметричны относительно биссектрисы угла $A$. Аналогично прямые $BR'$ и $BC$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$. Следовательно, точки $R'$ и $C$ изогонально сопряжены относительно треугольника $ABP$, откуда и получаем утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
Заочный тур
задача
Номер 16 [9-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .