Условие
Имеется треугольник $ABC$ и линейка, на которой отмечены отрезки, равные сторонам треугольника. Постройте этой линейкой ортоцентр треугольника, образованного точками касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности.
Решение
Отложив на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отрезок $CX=BC$, мы сможем построить прямую $BX$, параллельную биссектрисе угла $C$. Аналогично можно построить прямую, параллельную биссектрисе угла $C$ и проходящую через $A$, а имея две параллельные прямые, можно с помощью линейки провести параллельную им прямую через любую точку. Поэтому для решения задачи достаточно построить точки $A'$, $B'$, $C'$ касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $CA$, $AB$ (биссектрисы треугольника $ABC$ перпендикулярны сторонам $A'B'C'$). Отложим на продолжениях стороны $AB$ за точки $A$ и $B$ отрезки $AU = BC$ и $BV = AC$ соответственно. Так как $AC' = p-BC$, где $p$ – полупериметр треугольника, точка $C'$ будет серединой отрезка $UV$. Проведя через точки $U$, $V$ прямые, параллельные двум биссектрисам, мы получим параллелограмм с диагональю $UV$ и, построив его вторую диагональ, найдем точку $C'$.
Источники и прецеденты использования
