Задача 66663

Тема:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Белухов Н.

Шесть кругов с радиусами, равными 1, расположены на плоскости так, что расстояние между центрами любых двух из них больше $d$. При каком наименьшем $d$ можно утверждать, что найдется прямая, не пересекающая ни одного из кругов, по каждую сторону от которой лежат три круга?

Решение

Пусть $O_1O_2O_3$ – правильный треугольник со стороной $d$, а $O_4$ – такая точка, что $O_1O_4 = d$ и $\angle O_2O_1O_4 = \angle O_4O_1O_3 = 150^\circ$, точки $O_5$ и $O_6$ определены аналогично, так что вся конфигурация переходит в себя при повороте вокруг центра треугольника $O_1O_2O_3$. Шесть окружностей с центрами $O_1, O_2, \ldots, O_6$ показывают, что $d \ge \frac{2}{\sin 15^\circ} = 2(\sqrt{2} + \sqrt{6})$.

Пусть теперь $d = \frac{2}{\sin 15^\circ}$. Покажем, что искомая прямая существует.

Занумеруем центры окружностей числами от $1$ до $6$. Пусть $l$ – такая прямая, что проекции всех центров на $l$ различны. Рассматривая проекции слева направо, получим какую-то перестановку $\sigma$ чисел от $1$ до $6$.

Будем вращать $l$, пока она не повернется на $360^\circ$. Каждый раз, когда $l$ оказывается перпендикулярна прямой, соединяющей два центра (можно считать, что никакие три центра не лежат на одной прямой), два соседних элемента $\sigma$ переставляются. Поскольку есть $C_6^2 = 15$ таких прямых, произойдет $2 \cdot 15 = 30$ перестановок.

Назовем внешней транспозицию, переставляющую два первых или два последних элемента $\sigma$ (т.e., $A B \circ \circ \circ \circ \to B A \circ \circ \circ \circ$ или $\circ \circ \circ \circ A B \to \circ \circ \circ \circ B A$). В противном случае назовем транспозицию внутренней.

Так как стороне выпуклой оболочки центров соответствует внешняя транспозиция, таких транспозиций не меньше $2 \cdot 3 = 6$, соответственно внутренних транспозиций не больше, чем $30 - 6 = 24$.

Так как $\frac{360^\circ}{24} = 15^\circ$, найдется интервал $s$ вращения $l$ без внутренних транспозиций, не меньший $15^\circ$. Тогда на интервале $s$ третий и четвертый элементы $\sigma$ остаются фиксированными. Обозначим эти элементы через $A$ и $B$.

Рассмотрим полосу $L$ ограниченную проходящими через $A$ и $B$ перпендикулярами к $l$. На интервале $s$ полоса $L$ не содержит никаких центров, кроме $A$ и $B$. Так как $s$ составляет, по крайней мере, $15^\circ$, найдется такое положение $L$, что острый угол между $AB$ и $L$ не меньше $15^\circ$, т.е. ширина $L$ больше 2. Тогда средняя линия $L$ удовлетворяет условию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	22 [10-11 кл]