Задача 66664

Тема:    [ Разрезания, разбиения, покрытия и замощения ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200 пересекает не менее миллиарда из них.

Решение

Рассмотрим круг $K$ радиуса $R$. Внутри него имеется $k$ вершин наших семиугольников, средний угол при таких вершинах не превосходит $2\pi/3$. (В более чем тройной развилке средний угол еще меньше, а если несколько углов выходят на сторону, то средний такой угол не больше $\pi/2$).

С другой стороны, рассмотрим семиугольники, пересеченные $K$ или находящиеся внутри $K$. Средний угол при вершине равен $5\pi/7$. Пусть $n$ – число их вершин вне $K$, все они находятся в единичной окрестности круга $K$. Угол при каждой такой вершине не больше $\pi$ (впрочем, это верно для любого угла выпуклого многоугольника).

Чтобы удовлетворился баланс средних, должно выполняться $n\pi+k\cdot 2\pi/3 > (n+k)5\pi/7$. Откуда $n > k/6$.

Итак, в единичном слое, окружающем $K$, число вершин больше, чем число вершин внутри $K$, деленное на $6$.

Теперь заметим, что $(1+1/6)^6 > 2$, $(1+1/6)^{60} > 2^{10} > 1000$ и $(1+1/6)^{180} > 1000^3$.

Отсюда легко видеть, что число семиугольников (число углов, деленное на $7$) в круге радиуса $200$ не меньше $10^9$ (поскольку $6$ слоев удваивают его, $18$ увеличивают в $8 > 7$ раз и еще одна каемка покрывает все задетые ранее семиугольники).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
Заочный тур
задача
Номер	23 [10-11 кл]