Задача 66672
|
|
 |
Условие
Окружности $\omega_1$, $\omega_2$ с центрами $O_1$, $O_2$ соответственно лежат одна вне другой. На этих окружностях взяты точки $C_1$, $C_2$, лежащие по одну сторону от прямой $O_1O_2$. Луч $O_1C_1$ пересекает $\omega_2$ в точках $A_2$, $B_2$, а луч $O_2C_2$ пересекает $\omega_1$ в точках $A_1$, $B_1$. Докажите, что $\angle A_1O_1B_1=\angle A_2B_2C_2$ тогда и только тогда, когда $C_1C_2\parallel O_1O_2$.Решение 1
Равенство $\angle A_1O_1B_1=\angle A_2B_2C_2$ равносильно равенству $\angle O_1A_1O_2=\angle O_1A_2O_2$, т.е вписанности четырехугольника $O_1A_1A_2O_2$. Докажем равносильность этой вписанности и параллельности прямых $C_1C_2$ и $O_1O_2$.Если четырехугольник $O_1A_1A_2O_2$ вписанный, то $\angle A_1O_1C_1=\angle A_2O_2C_2$, $\angle O_1C_1A_1=\angle O_2C_2A_2$ и четырехугольник $C_1A_1A_2C_2$ – вписанный. Следовательно, прямые $O_1O_2$ и $C_1C_2$ антипараллельны прямой $A_1A_2$ относительно прямых $O_1A_2$, $O_2A_1$ и, значит, параллельны.
Если $C_1C_2\parallel O_1O_2$, то рассмотрим точку $X$ пересечения луча $O_1C_1$ с окружностью $A_1O_1O_2$. Четырехугольник $A_1C_1C_2X$ также вписанный, следовательно, $\angle A_1O_1X=\angle XO_2A_1$ и $\angle O_1C_1A_1=\angle O_2C_2X$. Поэтому $\angle O_2XC_2=\angle O_1A_1C_1=\angle O_1C_1A_1=\angle O_2C_2X$, т.е. $O_2X=O_2C_2$ и $X$ совпадает с $A_2$.
Решение 2
Пусть $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, $M_1$, $M_2$ – середины $A_1B_1$, $A_2B_2$ соответственно, $H_1$, $H_2$ – проекции $C_1$, $C_2$ на $O_1O_2$. Очевидно, равенство углов $\angle A_1O_1B_1=\angle A_2B_2C_2$ равносильно равенству отношений $O_1M_1/R_1=O_2M_2/R_2$. Но так как треугольник $O_1O_2M_2$ подобен треугольнику $O_1C_1H_1$, то $O_2M_2/R_2=(C_1H_1\cdot O_1O_2)/(R_1R_2)$. Аналогично $O_1M_1/R_1=(C_2H_2\cdot O_1O_2)/(R_1R_2)$. Следовательно, равенство $O_1M_1/R_1=O_2M_2/R_2$ равносильно равенству $C_1H_1=C_2H_2$, которое, в свою очередь, равносильно параллельности прямых $C_1C_2$ и $O_1O_2$.
