Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M₁, N₁ и P₁ симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то S_MNP = S_M1N1P1.
б) если M₁, N₁ и P₁ — такие точки сторон AC, BA и CB, что MM₁| BC, NN₁| CA и  PP₁| AB, то S_MNP = S_M1N1P1.

   Решение

---

Какими должны быть числа a и b, чтобы выполнялось равенство  x³ + px + q = x³ – a³ – b³ – 3abx?

   Решение

---

Четырёхугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.

   Решение

---

Точечный прожектор, находящийся в вершине B равностороннего треугольника ABC, освещает угол α. Найдите все такие значения α, не превосходящие 60°, что при любом положении прожектора, когда освещенный угол целиком находится внутри угла ABC, из освещенного и двух неосвещенных отрезков стороны AC можно составить треугольник.

   Решение

---

Известно, что число n является суммой квадратов трёх натуральных чисел. Показать, что число n² тоже является суммой квадратов трёх натуральных чисел.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66666  (#8.1)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66667  (#8.2)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Около прямоугольника $ABCD$ описана окружность. На меньшей дуге $BC$ окружности взята произвольная точка $E$. К окружности проведена касательная в точке $B$, пересекающая прямую $CE$ в точке $G$. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямые $GK$ и $AD$ перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66668  (#8.3)

Темы:   [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $AA'$, $BB'$, $CC'$ – биссектрисы. Докажите, что $\angle B'A'C'\leq 60^{\circ}$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66669  (#8.4)

Тема:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Найдите все такие конфигурации из шести точек общего положения на плоскости, что треугольник, образованный любыми тремя из них, равен треугольнику, образованному тремя остальными.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66670  (#8.5)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ вне его построен равнобедренный треугольник $ABE$ ($AE=BE$). Пусть $M$ – середина $AE$, $O$ – точка пересечения $AC$ и $BD$, $K$ – точка пересечения $ED$ и $OM$. Докажите, что $EK=KO$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями