Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66668
Темы:    [ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанные четырехугольники ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60, AA, BB, CC – биссектрисы. Докажите, что BAC60.

Решение

Для равностороннего треугольника утверждение задачи очевидно, поэтому можно считать, что AC>AB. Пусть I – точка пересечения биссектрис. Тогда BIC=120, следовательно, четырехугольник ABIC – вписанный, а поскольку AI – биссектриса, то BI=CI. Пусть ACB=2γ, тогда γ<30 и IA=rsinAAB=rsin(2γ+30)>rsin(γ+60)=rsinCCB=IC. Поэтому A лежит вне окружности с центром I радиуса IC, то есть BAC<60.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
класс
Класс 8
задача
Номер 8.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .