Задача 66668

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Фельдман Г.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $AA'$, $BB'$, $CC'$ – биссектрисы. Докажите, что $\angle B'A'C'\leq 60^{\circ}$.

Решение

Для равностороннего треугольника утверждение задачи очевидно, поэтому можно считать, что $AC>AB$. Пусть $I$ – точка пересечения биссектрис. Тогда $\angle BIC=120^{\circ}$, следовательно, четырехугольник $AB'IC'$ – вписанный, а поскольку $AI$ – биссектриса, то $B'I=C'I$. Пусть $\angle ACB = 2 \gamma$, тогда $\gamma < 30^\circ$ и $$IA' = \frac{r}{\sin\angle AA'B} = \frac{r}{\sin(2\gamma + 30^\circ)} > \frac{r}{\sin(\gamma+60^\circ)} = \frac{r}{\sin\angle CC'B} = IC'.$$ Поэтому $A'$ лежит вне окружности с центром $I$ радиуса $IC'$, то есть $\angle B'A'C' < 60^\circ$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3