Задача 66670

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Севастьянов С.

На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ вне его построен равнобедренный треугольник $ABE$ ($AE=BE$). Пусть $M$ – середина $AE$, $O$ – точка пересечения $AC$ и $BD$, $K$ – точка пересечения $ED$ и $OM$. Докажите, что $EK=KO$.

Решение

Так как $OM$ – средняя линия треугольника $ACE$, $OM\parallel EC$, следовательно, $\angle KOE=\angle OEC$. Но очевидно, что $EO$ – биссектриса угла $CED$. Значит, $\angle EOK=\angle OEK$ и треугольник $OKE$ – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5