Условие
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $BL$ и $CN$ – биссектрисы треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников $ABL$ и $CDN$, пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через середину дуги $AD$, не содержащей точку $B$.
Решение
Пусть $M$ – середина дуги $AD$. Тогда прямые $BL$ и $CN$ проходят через $M$. Кроме того, из равенства дуг $AM$ и $DM$ следует, что $\angle ALB = \big(\smile AB + \smile DM \big)/2 = \smile BAM/2=\angle BCM$, и, значит, четырехугольник $BCNL$ – вписанный. Следовательно, $ML\cdot MB = MN\cdot MC$, и $M$ лежит на радикальной оси $PQ$ окружностей $ABL$ и $CDN$.
Источники и прецеденты использования
