Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66682
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высоты AH, CH остроугольного треугольника ABC пересекают внутреннюю биссектрису угла B в точках L1, P1, а внешнюю в точках L2, P2. Докажите, что ортоцентры треугольников HL1P1, HL2P2 и вершина B лежат на одной прямой.

Решение 1

Заметим, что треугольники HL1P1 и HL2P2 – равнобедренные с углами при вершине H, равными B и πB соответственно. Пусть H1, H2 – ортоцентры этих треугольников, M1, M2 – середины L1P1, L2P2 соответственно. Тогда треугольники HL2P2 и H1L1P1 подобны, а H2 и H – их ортоцентры, следовательно, HH1:M2B=HH1:HM1=H2H:H2M2, что равносильно утверждению задачи.


Решение 2

Воспользуемся следующим фактом:

Ортоцентры четырех треугольников, образованных четырьмя прямыми общего положения, лежат на одной прямой (прямая Обера).

В данном случае высоты из вершин A, C, а также внешняя и внутренняя биссектрисы угла B образуют четыре треугольника, два из которых – прямоугольные с прямым углом в вершине B. Соответственно, B является и ортоцентром этих треугольников, а значит, лежит на прямой, проходящей через ортоцентры двух других треугольников.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .