ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66682
УсловиеВысоты AH, CH остроугольного треугольника ABC пересекают внутреннюю биссектрису угла B в точках L1, P1, а внешнюю в точках L2, P2. Докажите, что ортоцентры треугольников HL1P1, HL2P2 и вершина B лежат на одной прямой. Решение 1Заметим, что треугольники HL1P1 и HL2P2 – равнобедренные с углами при вершине H, равными B и π−B соответственно. Пусть H1, H2 – ортоцентры этих треугольников, M1, M2 – середины L1P1, L2P2 соответственно. Тогда треугольники HL2P2 и H1L1P1 подобны, а H2 и H – их ортоцентры, следовательно, HH1:M2B=HH1:HM1=H2H:H2M2, что равносильно утверждению задачи. Решение 2Воспользуемся следующим фактом: Ортоцентры четырех треугольников, образованных четырьмя прямыми общего положения, лежат на одной прямой (прямая Обера). В данном случае высоты из вершин A, C, а также внешняя и внутренняя биссектрисы угла B образуют четыре треугольника, два из которых – прямоугольные с прямым углом в вершине B. Соответственно, B является и ортоцентром этих треугольников, а значит, лежит на прямой, проходящей через ортоцентры двух других треугольников. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке