Задача 66687

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Кунгожин М.

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

Решение

Заметим, что $\angle PML=\angle PQL=\angle KQR=\angle KMR$. Кроме того, $\angle PLM=\angle KQM=\angle KRM$, следовательно, треугольники $PLM$ и $KRM$ подобны, т.е. $PM\cdot RM=LM\cdot KM=AM^2$ (см.рис.).

Пусть $P'$ – точка, симметричная $P$ относительно $KL$. Точки $A$, $B$, $P$, $P'$ лежат на одной окружности, так как являются вершинами равнобедренной трапеции. Поскольку $P'$, $M$, $R$ лежат на одной прямой и $P'M\cdot RM=AM\cdot BM$, точка $R$ также лежит на этой окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6