|
|
 |
Условие
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отметили точку $K$, а на катете $AC$ – точку $L$ так, что $AK = AC, BK = LC$. Отрезки $BL$ и $CK$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольник $CLM$ равнобедренный.
Решение 1
Поскольку в прямоугольном треугольнике $CLB$ медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы, достаточно доказать, что $M$ – середина $LB$.
Первый способ. Отметим на отрезке $AK$ точку $F$ так, что $AF = AL$. Тогда $FL \parallel KC$ и $FK = LC = KB$. Значит, $KM$ – средняя линия треугольника $LFB$, и $LM = MB$.
Второй способ. Проведём через точку $L$ прямую, параллельную $AB$, до пересечения с $CK$ в точке $G$. Так как треугольник $CAK$ равнобедренный, то и $CLG$ – тоже. Поэтому $LG = LC = BK$ и $LGBK$ – параллелограмм. Следовательно, $M$ – середина $LB$.
Третий способ. Поместим в точки $C, A$ и $B$ массы $x = AL$, $y = LC$ и $x + y$ соответственно. Тогда $L$ – центр масс точек $A$ и $C$, а $K$ – точек $A$ и $B$. Поэтому общий центр масс лежит на пересечении отрезков $BL$ и $CK$, то есть в точке $M$. Группируя точки $A$ и $С$, получим точку $L$ с массой $x + y$. Поскольку у $L$ и $B$ равные массы, то $М$ – середина $LB$.
Четвертый способ. Проведём через точку $B$ прямую $l$, параллельную $AC$, и продлим $CK$ до пересечения с $l$ в точке $P$. Треугольники $NBK$ и $CAK$, очевидно, подобны, поэтому $BP = BK = LC$, то есть $LCBP$ – прямоугольник, а точка пересечения его диагоналей. Следовательно, $MC = ML$.
Решение 2
Проведём через точку $B$ прямую, параллельную $CK$, до пересечения с прямой $AC$ в точке $E$. Так как треугольник $ACK$ равнобедренный, то и $AEB$ – тоже. Поэтому $EC = BK = LC$. Таким образом, $BC$ – высота и медиана треугольника $ELB$, значит, он равнобедренный. Подобный ему треугольник $CLM$ тоже равнобедренный.
Замечания
4 балла
