ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66692
Темы:    [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В квадрате $4\times4$ расставили целые числа так, что в каждом из восьми рядов (строках и столбцах) сумма чисел одна и та же. Семь чисел известны, а остальные скрыты (см. рисунок).

Можно ли по имеющимся данным восстановить
  а) хотя бы одно скрытое число;
  б) хотя бы два скрытых числа?


Решение

а) Пусть в правом нижнем углу находится число $x$. Сумма чисел в двух средних столбцах равна сумме чисел в двух крайних строках. Поэтому
$4 + 5 + 6 + 7 = 1 + 2 + 3 + x$,  то есть  $x = 16$.

б) Рассмотрим любой подходящий набор из восьми неизвестных ещё чисел. Добавим к каждому из них по 1. Суммы чисел в рядах увеличатся на 2, значит, останутся равными. Следовательно, ни одно из этих восьми чисел восстановить нельзя.


Ответ

а) Можно;   б) нельзя.

Замечания

Подходящие расстановки существуют. Больше нельзя восстановить ни одного числа даже в случае, когда сумма в рядах известна. Действительно, к любой таблице можно без изменения сумм в рядах добавить следующую таблицу:

2. Баллы: 2 + 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 39
Дата 2017/18
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .