|
|
 |
Условие
В квадрате $4\times4$ расставили целые числа так, что в каждом из восьми рядов (строках и столбцах) сумма чисел одна и та же. Семь чисел известны, а остальные скрыты (см. рисунок).
Можно ли по имеющимся данным восстановить
а) хотя бы одно скрытое число;
б) хотя бы два скрытых числа?
Решение
а) Пусть в правом нижнем углу находится число $x$. Сумма чисел в двух средних столбцах равна сумме чисел в двух крайних строках. Поэтому
$4 + 5 + 6 + 7 = 1 + 2 + 3 + x$, то есть $x = 16$.
б) Рассмотрим любой подходящий набор из восьми неизвестных ещё чисел. Добавим к каждому из них по 1. Суммы чисел в рядах увеличатся на 2, значит, останутся равными. Следовательно, ни одно из этих восьми чисел восстановить нельзя.
Ответ
а) Можно; б) нельзя.
Замечания
Подходящие расстановки существуют. Больше нельзя восстановить ни одного числа даже в случае, когда сумма в рядах известна. Действительно, к любой таблице можно без изменения сумм в рядах добавить следующую таблицу:
2. Баллы: 2 + 2.
