|
|
 |
Условие
Существуют ли такие 2018 положительных несократимых дробей с различными натуральными знаменателями, что знаменатель разности каждых двух из них (после приведения к несократимому виду) меньше знаменателя любой из исходных 2018 дробей?
Решение 1
Рассмотрим дроби $\dfrac{1+q}{1},~ \dfrac{2+q}{2q}, ..., \dfrac{2018+q}{2018q},$ где $q = 2018! + 1$. Они несократимы, так как $(q, i) = 1$ при $1 \leqslant i \leqslant 2018$.
Разность таких дробей равна $\dfrac{i+q}{iq} - \dfrac{j+q}{jq} = \dfrac{j-i}{ij}$. Её знаменатель меньше $q$, а в несократимом виде – тем более.
Решение 2
Выберем любые 2018 положительных несократимых дробей со знаменателями $b_1 > b_2 > ... > b_{2018} > 0$. Выберем ещё одну положительную несократимую дробь вида 1/d, знаменатель $d$ которой больше $b_1b_2$ и взаимно прост с $b_1b_2...b_{2018}$. Прибавим к каждой из 2018 дробей новую дробь. Полученные суммы искомые, так как их знаменатели в несократимом виде будут равны $db_i$, а у разностей – не больше $b_1b_2$.
Ответ
Существуют.
Замечания
6 баллов
