ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66713
Темы:    [ Разрезания (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Клетчатый прямоугольник размера $7\times14$ разрезали по линиям сетки на квадраты $2\times2$ и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться

а) столько же, сколько уголков;

б) больше, чем уголков?

Решение

а) Будем считать, что в прямоугольнике $7$ строк и $14$ столбцов. Разобьём прямоугольник на полоски из двух столбцов, а каждую из полосок — как на рисунке.

б) Докажем, что требуется хотя бы $14$ уголков. Тогда квадратов будет не больше $(7\cdot 14 - 3\cdot14) : 4 = 14$.

Первый способ. Выставляя фигурки, будем следить за чётностью количества покрытых клеток в каждом столбце. Квадраты не меняют эту чётность, а уголок меняет чётность только одного столбца. Сначала все столбцы были чётными, а должны стать нечётными. Следовательно, потребуется хотя бы $14$ уголков.

Второй способ. Раскрасим прямоугольник «в полоску»: все нечётные горизонтали — чёрные, а чётные — белые. При этом чёрных клеток будет на $14$ больше, чем белых. Но в квадрате число чёрных клеток равно числу белых, а в уголке их количества отличаются на единицу. Следовательно, потребуется не меньше $14$ уголков.

Ответ

а) Могло. б) Не могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .