|
|
 |
Условие
Клетчатый прямоугольник размера $7\times14$ разрезали по линиям сетки на квадраты $2\times2$ и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться
а) столько же, сколько уголков;
б) больше, чем уголков?
Решение
а) Будем считать, что в прямоугольнике $7$ строк и $14$ столбцов. Разобьём прямоугольник на полоски из двух столбцов, а каждую из полосок — как на рисунке.
б) Докажем, что требуется хотя бы $14$ уголков. Тогда квадратов будет не больше $(7\cdot 14 - 3\cdot14) : 4 = 14$.
Первый способ. Выставляя фигурки, будем следить за чётностью количества покрытых клеток в каждом столбце. Квадраты не меняют эту чётность, а уголок меняет чётность только одного столбца. Сначала все столбцы были чётными, а должны стать нечётными. Следовательно, потребуется хотя бы $14$ уголков.
Второй способ. Раскрасим прямоугольник «в полоску»: все нечётные горизонтали — чёрные, а чётные — белые. При этом чёрных клеток будет на $14$ больше, чем белых. Но в квадрате число чёрных клеток равно числу белых, а в уголке их количества отличаются на единицу. Следовательно, потребуется не меньше $14$ уголков.
Ответ
а) Могло. б) Не могло.
