ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



Задача 66712

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебра и арифметика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66716

Темы:   [ Пятиугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66735

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Алгебра и арифметика (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66711

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66713

Темы:   [ Разрезания (прочее) ]
[ Раскраски ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Клетчатый прямоугольник размера $7\times14$ разрезали по линиям сетки на квадраты $2\times2$ и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться

а) столько же, сколько уголков;

б) больше, чем уголков?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .