Страница: 1
2 >> [Всего задач: 7]
Задача
66721
(#1)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $E$ — произвольная точка внутри стороны $AC$. Известно, что $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
Задача
66722
(#2)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопрос: «На острове рыцарей больше, чем лжецов?». Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов «Да» и «Нет» было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов «Да» было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?
Задача
66723
(#3)
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Требуется записать число вида 77...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 77...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
Задача
66724
(#4)
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Доска $7\times7$ либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль $2\times2$. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
Задача
66725
(#5)
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность с центром $O$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ABE$ и $DBE$ соответственно. Докажите, что точки $O_1, O_2, O, C$ лежат на одной окружности.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 7]