Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 66721 (#1)

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Седракян Н.

В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $E$ — произвольная точка внутри стороны $AC$. Известно, что $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

Прислать комментарий Решение

Задача 66722 (#2)

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
Темы:	[	Инварианты и полуинварианты (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кузнецов М.

На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопрос: «На острове рыцарей больше, чем лжецов?». Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов «Да» и «Нет» было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов «Да» было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?

Прислать комментарий Решение

Задача 66723 (#3)

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
Темы:	[	Ребусы	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Маркелов С.В.

Требуется записать число вида 77...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 77...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?

Прислать комментарий Решение

Задача 66724 (#4)

Тема:

[

Разрезания (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Женодаров Р.Г.

Доска $7\times7$ либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль $2\times2$. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?

Прислать комментарий Решение

Задача 66725 (#5)

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность с центром $O$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ABE$ и $DBE$ соответственно. Докажите, что точки $O_1, O_2, O, C$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]