ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66723
Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Ребусы ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Требуется записать число вида 7...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 7...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?


Решение 1

   $\underbrace{7\ldots 7}_{n} = \dfrac{10^n-1}{9}\cdot 7 = \dfrac{7\cdot 10^n -7}{9}.$   Число 10 можно записать как  (77 - 7):7,  а 9 – как  7 + (7 + 7):7.  В качестве $n$ можно взять 77 или  14 = 7 + 7.

Замечание. В этом решении использовано 12 семёрок. Заменив $(77 - 7):7$ на $7 + (7 + 7 + 7):7$ можно обойтись без использования двузначных чисел.

Решение 2

(Будун Будунов)    $\underbrace{7\ldots 7}_{14}\cdot\left(\left(\dfrac{77-7}{7}\right)^{7+7}+\dfrac{7}{7}\right) = \underbrace{7\ldots 7}_{28}.$


Ответ

Существует.

Замечания

8 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .