|
|
 |
Условие
Равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность с центром $O$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ABE$ и $DBE$ соответственно. Докажите, что точки $O_1, O_2, O, C$ лежат на одной окружности.
Решение
Нетрудно понять, что $AD$ – большее основание, треугольник $AEB$ остроугольный, и точки $B, C$ и $O_2$ лежат по одну сторону от прямой $OO_1$. Прямые $OO_1, O_1O_2$ и $OO_2$ – серединные перпендикуляры к $AB, BE$ и $BD$ соответственно. Пусть $K$ – середина $AB$.
Первый способ. Так как $\angle BO_1O_2 = \angle BAD = \angle BOO_2$ (половина центрального угла равна вписанному для треугольников $BAE$ и $BAD$), то, четырёхугольник $OO_1BO_2$ вписанный. Поскольку $\angle KO_1B = \angle AEB = \angle CBE = \angle CBO = \angle BCO$, то четырёхугольник $OO_1BC$ вписанный.
Поэтому точки $O, O_1, B, C, O_2$ лежат на одной окружности.
Второй способ. Заметим, что $\angle EAO_1 = 90^{\circ} - \angle ABE = \angle KOB = \angle ADB = \angle CAD$. Значит, точка $O_1$ лежит на прямой $AC$. Поэтому $ \angle OCO_1 = \angle EBD = 90^{\circ} - \angle BOO_2 = \angle OO_2O_1$. Следовательно, точки $O, O_1, C, O_2$ лежат на одной окружности.
Замечание. Аналогично можно показать, что точка $O_2$ лежит на луче (но не обязательно на отрезке) $DC$; точки $A, E, O, O_1$ лежат на одной окружности; точки $D, E, O, O_2$ лежат на одной окружности.
Третий способ. Рассмотрим только случай, когда точка $O$ лежит внутри трапеции. Пусть диагональ $AC$ пересекает описанную окружность треугольника $OAE$ в точке $P$. Тогда $\angle OEP = \angle OAP = \angle OCP$, поэтому $\angle PEA = \angle BEA − \angle OEP = \angle OCB − \angle OCP = \angle ACB = \angle PAE$. Следовательно, $PA = PE$. С другой стороны, $\angle BOP = \angle PAE = \angle PEA = \angle POA$. Значит, треугольники $POB$ и $POA$ равны, а $PB = PA$. Таким образом, точка $P$ совпадает с $O_1$. Аналогично доказывается, что точка $O_2$ лежит на луче $CD$. Поэтому $\angle OCO_1 = \angle DBE = \angle OO_2O_1$ (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), что и требовалось.
Замечания
8 баллов
