|
|
 |
Условие
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $BC$, точка $E$ — произвольная точка внутри стороны $AC$. Известно, что $BE \geqslant 2AM$. Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
Решение
Решение 1.
Пусть $X$ — середина отрезка $EC$. Тогда $MX = BE/2$. Как известно, чевиана треугольника меньше хотя бы одной из сторон, выходящих из той же вершины (это следует, например, из свойств наклонных и проекций). По условию, $MX \geqslant MA$, значит, $MX < MC$. Тем более, $MA < MC$. Следовательно, точка $A$ лежит внутри круга с диаметром $BC$. А это и значит, что угол $A$ тупой.
Решение 2.
Пусть угол $A$ не тупой. Тогда центр $O$ описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на $BC$ или по ту же сторону от $BC$, что и вершина $A$. Значит, $2AM \geqslant 2AO = OB + OC \geqslant BC > BE$. Противоречие.
Решение 3. (Арбуханова Гульжаган)
Достроим треугольник до параллелограмма $ABDC$. Пусть $AM$ и $BE$ пересекаются в точке $Y$. Так как треугольники $AYE$ и $DYB$ подобны и $BE \geqslant 2AM = AD$, то $BY \geqslant YD$. Сравнивая это с неравенством треугольника $YM + MB > BY$, получим $MB > MD$. То есть $BC$ — большая диагональ параллелограмма. Это и значит, что угол $A$ тупой.
