ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66722  (#1)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ]
[ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопрос: «На острове рыцарей больше, чем лжецов?». Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов «Да» и «Нет» было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов «Да» было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66729  (#2)

Темы:   [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC с центром описанной окружности O проведены высоты $AH_a$ и $BH_b$. Точки X и Y симметричны точкам $H_a$ и $H_b$ относительно середин сторон BC и CA соответственно. Докажите, что прямая CO делит отрезок XY пополам.

Прислать комментарий     Решение


Задача 66726  (#3)

Темы:   [ Алгебра и арифметика (прочее) ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что

а) любое число вида 3k - 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел;

б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66731  (#4)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Комбинаторика орбит ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Захаров Д.

Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал «по клеткам». Если после очередного сдвига ровно одна клетка у M лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали M по описанным правилам.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66732  (#5)

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно k больше 30 градусов. Каково наибольшее возможное значение k?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .