|
|
 |
Условие
Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно $k$ больше 30°. Каково наибольшее возможное значение $k$?
Решение
Оценка. Первый способ. Пусть $h_1 \leqslant h_2 \leqslant h_3$ – высоты треугольника, $m_1,m_2,m_3$ – медианы из соответствующих вершин (на самом деле $m_1 \leqslant m_2 \leqslant m_3$, но это не будет использовано). Тогда $m_3 \geqslant h_3$. Из конца $m_3$ опустим перпендикуляры на смежные стороны. Каждый из них равен половине соответствующей высоты и, значит, не больше m3/2. Поэтому прилегающие к $m_3$ углы не больше $30^\circ$. Аналогично один из углов при $m_2$ не больше $30^\circ$.
Второй способ. Пусть дан треугольник $ABC$ с медианами $AX, BY, CZ$. Оба угла $BAX$ и $BCZ$ не могут быть больше $30^{\circ}$: иначе точки $A$ и $C$ лежат внутри окружности с хордой $ZX$ и диаметром $2ZX$, но при этом
$AC = 2ZX$, то есть отрезок, равный диаметру, лежит строго внутри окружности. Противоречие. Аналогично в каждой из двух других пар максимум один угол больше $30^\circ$.
Пример 1. Рассмотрим сначала треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 30^{\circ}$. Пусть $BK$ и $CL$ – его медианы. Тогда $\angle ACL = 30^{\circ}, \angle BCL = 60^{\circ}, \angle CBK > 30^{\circ}$ (поскольку биссектриса угла $B$ проходит между катетом и медианой). Теперь чуть уменьшим катет $AC$. При этом угол $ACL$ немного увеличится (то есть станет больше $30^{\circ}$), а углы $BCL$ и $CBK$ немного уменьшатся, но останутся больше $30^\circ$.
Пример 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 4 и 6 (см. рис.).
Имеем tg 30° < tg α < tg β < tg γ, поскольку $\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{3}{2}$.
Ответ
$k = 3$.
Замечания
8 баллов
