Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
66735
(#1)
|
|
Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11
|
В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20.
Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равна 3.
Могло ли быть выписано больше 10 чисел?
Задача
66736
(#2)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
По кругу лежит 2n+1 монета орлом вверх.
Двигаясь по часовой стрелке, делают 2n+1 переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую.
Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.
Задача
66737
(#3)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Произведение натуральных чисел m и n делится на их сумму.
Докажите, что $m+n \leqslant n^2$.
Задача
66738
(#4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
В прямоугольник $ABCD$ вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом $\alpha$ при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке $BC$, а концы основания – на отрезках $AB$ и $CD$.
Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают.
Задача
66739
(#5)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11
|
Фокусник с помощником показывают фокус.
В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок.
Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору.
Затем возвращается фокусник.
Помощник открывает одну шкатулку, в которой нет монетки.
Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают.
Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками.
Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался.
См. также задачу 66743.
Страница: 1 [Всего задач: 5]