ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66738
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольник $ABCD$ вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом $\alpha$ при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке $BC$, а концы основания – на отрезках $AB$ и $CD$. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают.

Решение

Пусть KLM – один из таких треугольников, O – середина его основания KM (см. рисунок).

Тогда LO – медиана, а значит, и биссектриса, и высота треугольника KLM. Поскольку углы KBL и LOK прямые, точки B и O лежат на окружности c диаметром KL, откуда $\angle KBO=\angle KLO=\alpha/2$. Аналогично получаем, что $\angle МСO=\angle МLO=\alpha/2$.

Тогда O – точка пересечения прямых, проведённых из вершин B и C под углом $\alpha/2$ к сторонам прямоугольника BA и CD соответственно, то есть она не зависит от положения треугольника KLM.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .