Задача 66738
|
|
 |
Условие
В прямоугольник $ABCD$ вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом $\alpha$ при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке $BC$, а концы основания – на отрезках $AB$ и $CD$. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают.Решение
Пусть KLM – один из таких треугольников, O – середина его основания KM (см. рисунок).
Тогда LO – медиана, а значит, и биссектриса, и высота треугольника KLM. Поскольку углы KBL и LOK прямые, точки B и O лежат на окружности c диаметром KL, откуда $\angle KBO=\angle KLO=\alpha/2$. Аналогично получаем, что $\angle МСO=\angle МLO=\alpha/2$.
Тогда O – точка пересечения прямых, проведённых из вершин B и C под углом $\alpha/2$ к сторонам прямоугольника BA и CD соответственно, то есть она не зависит от положения треугольника KLM.
