ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66737
Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Произведение натуральных чисел m и n делится на их сумму. Докажите, что $m+n \leqslant n^2$.

Решение

Решение 1.

Поскольку $n^2=n(m+n)-mn$, из условия следует, что $n^2$ делится на m+n. Значит, $n^2 \geqslant m+n$.

Решение 2.

Пусть d = НОД(m, n), m = ad, n = bd. По условию, $abd^2$ делится на d(a+b), откуда abd делится на a+b. Но так как числа a и b взаимно просты, каждое из них взаимно просто с a+b. Значит, d делится на a+b, откуда $d^2$ делится на d(a+b)=m+n и, следовательно, $d^2 \geqslant m+n$. Осталось заметить, что $n^2 \geqslant d^2$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .