ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66737
Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Произведение натуральных чисел $m$ и $n$ делится на их сумму. Докажите, что  $m + n \leqslant n^2$.


Решение 1

Пусть  $d = НОД(m, n), m = ad, n = bd$.  По условию, $abd^2$ делится на  $d(a + b)$,  откуда $abd$ делится на  $a + b$.  Но так как числа $a$ и $b$ взаимно просты, каждое из них взаимно просто с  $a + b$.  Значит, $d$ делится на  $a + b$,  откуда $d^2$ делится на  $d(a + b) = m + n$  и, следовательно,  $d^2 \geqslant m+n$.  Осталось заметить, что  $n^2 \geqslant d^2$.


Решение 2

Поскольку  $n^2 = n(m + n)- mn$,  из условия следует, что $n^2$ делится на  $m + n$.  Значит,  $n^2 \geqslant m + n$.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .