|
|
 |
Условие
Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался.См. также задачу 66743.
Решение
Мысленно расположим шкатулки по кругу, изобразив их точками, делящими окружность на 12 равных дуг длины 1, и будем выражать расстояния между шкатулками в дугах. Между любыми двумя шкатулками с одной из сторон круга находится не более 6 дуг длины 1. Тогда нам достаточно придумать ≪шаблон≫ – четырёхугольник с вершинами в шкатулках, – между вершинами которого реализуются все расстояния от 1 до 6. Пример такого шаблона изображён на рисунке (четырёхугольник с вершинами 1, 2, 5, 7), одна из его вершин помечена красным.
Этот шаблон всегда можно повернуть так, чтобы он ≪накрыл≫ обе шкатулки с монетами. Помощник так и делает, а открывает шкатулку перед красной вершиной шаблона. Фокусник поворачивает шаблон так, чтобы красная вершина шла сразу за шкатулкой, открытой помощником, и находит монеты.
Это же решение можно изложить другими словами. Занумеруем шкатулки остатками по модулю 12. Если помощник открывает шкатулку с номером k, то фокусник открывает шкатулки с номерами k+1, k+2, k+5 и k+7 по модулю 12. Поскольку любая пара шкатулок имеет вид {n, n+1}, {n, n+2}, {n, n+3}, {n, n+4}, {n, n+5} или {n, n+6}, то помощник всегда найдёт четвёрку шкатулок нужного вида, содержащую пару шкатулок с монетами.
Существуют и другие шаблоны – например, четырёхугольник с вершинами 1, 2, 4, 8.
См. также задачу 4 старших классов, где шкатулок 13.
