ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66736
Темы:    [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу лежит  $2n + 1$  монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают  $2n + 1$  переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.


Решение

  Пусть (n–1)-я перевёрнутая монета – $X$, а $n$-я – $Y$. Тогда между $X$ и $Y$ по часовой стрелке лежит  $n - 1$  монета, а раз всего монет в круге  $2n + 1$,  то между $Y$ и Х по часовой стрелке лежит $n$ монет (см. рисунок). Это значит, что (n+1)-й мы снова перевернём монету $X$.

  И далее мы будем переворачивать уже переворачивавшиеся монеты, но в обратном порядке: ведь пропустить по часовой стрелке  $n + 1$  монету – всё равно, что пропустить против часовой стрелки  $n - 2$ монеты, ..., пропустить по часовой стрелке  $2n - 2$  монеты – всё равно, что пропустить против часовой стрелки 1 монету. А на последних двух шагах мы перевернём одну и ту же монету.
  В итоге решкой вверх будет лежать только монета $Y$ – она переворачивалась нечётное число раз, а все остальные монеты – чётное.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .