Задача 66736
|
|
 |
Условие
По кругу лежит 2n+1 монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают 2n+1 переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.Решение
Пусть (n-1)-я перевёрнутая монета – X, а n-я – Y. Тогда между X и Y по часовой стрелке лежит n-1 монет, а раз всего монет в круге 2n+1, то между Y и Х по часовой стрелке лежит n монет (см. рисунок). Это значит, что (n+1)-й мы снова перевернём монету X.
И далее мы будем переворачивать уже переворачивавшиеся монеты, но в обратном порядке: ведь пропустить по часовой стрелке n+1 монет – всё равно, что пропустить против часовой стрелки n-2 монет, ..., пропустить по часовой стрелке 2n-2 монет – всё равно, что пропустить против часовой стрелки 1 монету. А на последних двух шагах мы перевернём одну и ту же монету.
В итоге решкой вверх будет лежать только монета Y – она переворачивалась нечётное число раз, а все остальные монеты – чётное.
