ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66711
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.

Решение

Пусть точка $M$ лежит на $AB$, точка $N$ — на $BC$, и пусть точка $K$ — середина $AC$. Тогда $BK = \frac{1}{2} AC$ (в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы). Так как угол $B$ прямой, то $MN$ — диаметр данной окружности. Поскольку $BK = \frac{1}{2} AC = MN$, то $BK$ — тоже диаметр. Следовательно, $KM \perp AB$, то есть $KM$ — средняя линия треугольника $ABC$. Аналогично $KN$ — средняя линия.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
неизвестно
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .