Задача 66711

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.

Решение

Пусть точка $M$ лежит на $AB$, точка $N$ – на $BC$, а точка $K$ – середина $AC$. Тогда  $BK = 0,5AC$  (в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы). Так как угол $B$ прямой, то $MN$ – диаметр данной окружности. Поскольку  $BK = 0,5AC = MN$,  то $BK$ – тоже диаметр. Следовательно,  $KM \perp AB$,  то есть $KM$ – средняя линия треугольника $ABC$. Аналогично $KN$ – средняя линия.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер	1