Задача 66711
|
|
 |
Условие
Окружность, проходящая через вершину $B$ прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает катеты этого треугольника в точках $M$ и $N$. Оказалось, что $AC = 2MN$. Докажите, что $M$ и $N$ — середины катетов треугольника $ABC$.
Решение
Пусть точка $M$ лежит на $AB$, точка $N$ — на $BC$, и пусть точка $K$ — середина $AC$. Тогда $BK = \frac{1}{2} AC$ (в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы). Так как угол $B$ прямой, то $MN$ — диаметр данной окружности. Поскольку $BK = \frac{1}{2} AC = MN$, то $BK$ — тоже диаметр. Следовательно, $KM \perp AB$, то есть $KM$ — средняя линия треугольника $ABC$. Аналогично $KN$ — средняя линия.
