ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66752  (#1)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, делящееся на 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами. Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66746  (#2)

Тема:   [ Симметричная стратегия ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66754  (#3)

Тема:   [ Биссектриса угла ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,11

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

См. также задачу 66747.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66749  (#4)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

В клетках квадратной таблицы $n\times n$, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до $n^2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, – в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66756  (#5)

Темы:   [ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
б) А квадрат площади 1/2019?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .