|
|
 |
Условие
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
б) А квадрат площади 1/2019?
Решение
Пусть единичный квадрат ABCD – проекция тетраэдра ABCD' на плоскость грани ABC. Тогда этот тетраэдр «вписан» в прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D'.
Из симметрии относительно плоскости DBD' ясно, что проекция тетраэдра на плоскость грани ACD' трапецией быть не может (если две противоположные стороны проекции параллельны, то и две другие тоже), а проекции тетраэдра на плоскости граней ABD' и BCD' равны.
Высота CK тетраэдра, очевидно, совпадает с высотой прямоугольного треугольника BCC', поэтому проекция на плоскость ABD' – трапеция ABKD'. Так как треугольники BCC' и BKC подобны и BC=1, имеем $BK=\frac{1}{BC'}=\frac{1}{AD'}$. Тогда $$S_{ABKD'} = 1\cdot \dfrac{AD'+BK}{2} = \dfrac{AD'+\frac{1}{AD'}}{2} \geqslant 1.$$ Равенство возможно лишь при $AD'=\frac{1}{AD'}=1$, но это не так, поскольку гипотенуза AD' больше катета AD, равного 1. Итак, ответ в пункте а) отрицателен.
Ответ в пункте б) положителен: достаточно выбрать DD' так, что $AD'+\frac{1}{AD'}=2\cdot 2019$, а потом уменьшить длины всех рёбер тетраэдра в $\sqrt{2019}$ раз.
