ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66756
Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
б) А квадрат площади 1/2019?

Решение

Пусть единичный квадрат ABCD – проекция тетраэдра ABCD' на плоскость грани ABC. Тогда этот тетраэдр «вписан» в прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D'.

Из симметрии относительно плоскости DBD' ясно, что проекция тетраэдра на плоскость грани ACD' трапецией быть не может (если две противоположные стороны проекции параллельны, то и две другие тоже), а проекции тетраэдра на плоскости граней ABD' и BCD' равны.

Высота CK тетраэдра, очевидно, совпадает с высотой прямоугольного треугольника BCC', поэтому проекция на плоскость ABD' – трапеция ABKD'. Так как треугольники BCC' и BKC подобны и BC=1, имеем $BK=\frac{1}{BC'}=\frac{1}{AD'}$. Тогда $$S_{ABKD'} = 1\cdot \dfrac{AD'+BK}{2} = \dfrac{AD'+\frac{1}{AD'}}{2} \geqslant 1.$$ Равенство возможно лишь при $AD'=\frac{1}{AD'}=1$, но это не так, поскольку гипотенуза AD' больше катета AD, равного 1. Итак, ответ в пункте а) отрицателен.

Ответ в пункте б) положителен: достаточно выбрать DD' так, что $AD'+\frac{1}{AD'}=2\cdot 2019$, а потом уменьшить длины всех рёбер тетраэдра в $\sqrt{2019}$ раз.

Ответ

а) не может; б) может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .