|
|
 |
Условие
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
б) А квадрат площади 1/2019?
Решение
Пусть единичный квадрат $ABCD$ – проекция тетраэдра $ABCD'$ на плоскость грани $ABC$. Тогда этот тетраэдр "вписан" в прямоугольный параллелепипед $ABCDA'B'C'D'$.
Из симметрии относительно плоскости $DBD'$ ясно, что проекция тетраэдра на плоскость грани $ACD'$ является дельтоидом и трапецией быть не может (но может быть ромбом), а проекции тетраэдра на плоскости граней $ABD'$ и $BCD'$ равны.
Высота $CK$ тетраэдра, очевидно, совпадает с высотой прямоугольного треугольника $BCC'$, поэтому проекция на плоскость $ABD'$ – трапеция $ABKD'$. Из прямоугольного тр-ка получаем $BK=\frac{1}{BC'}=\frac{1}{AD'}$, поэтому $S_{ABKD'} = 1\cdot \dfrac{AD'+BK}{2} = \dfrac{AD'+\frac{1}{AD'}}{2} \geqslant 1.$ Равенство возможно лишь при $AD'=\frac{1}{AD'}=1$, но это не так, поскольку гипотенуза $AD'$ больше катета $AD$, равного 1.
Итак, ответ в пункте а) отрицателен.
Ответ в пункте б) положителен: достаточно выбрать $DD'$ так, что $AD'+\frac{1}{AD'}=2\cdot 2019$, а потом уменьшить длины всех рёбер тетраэдра в $\sqrt{2019}$ раз.
Ответ
а) Не может; б) может.
Замечания
баллы: 4 + 4
