|
|
 |
Условие
На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.
Решение
Пусть исходное число имеет вид $\overline{AB}$, причём $A$ при делении на 7 даёт остаток $r$. Возьмём такую цифру $a$, что $2r+a$ делится на 7 (она, очевидно, найдётся). Будем делить число вида $\overline{Aa...aB}$ на 7 в столбик. Когда мы закончим делить $A$, останется остаток $r$. На следующем шаге мы будем делить на 7 число $10r+a = 7r+(2r+a)+r$, снова получается остаток $r$. На следующих шагах это повторяется, пока мы не дойдём до деления на 7 числа $\overline{rB}$, которое кратно 7 по условию.
Замечания
5 баллов
