ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66754
Тема:    [ Биссектриса угла ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

См. также задачу 66747.

Решение

Искомый луч – геометрическое место лежащих внутри угла точек, для которых отношение расстояний до серой и чёрной сторон равно отношению $\frac{r_1}{r_2}$ радиусов серой и чёрной окружностей.

Дальнейшие рассуждения практически повторяют решение задачи 3 младших классов. Ясно, что луч $A'A$ содержит указанный выше луч и обладает тем же свойством по отношению к прямым $A'O_{1}$ и $A'O_{2}$. Поэтому этот луч пересекает дугу $O_{1}O_{2}$ в такой точке K, что $O_{1}K : O_{2}K=(2R \sin\angle O_{1}A'K) : (2R \sin\angle O_{2}A'K)=\sin\angle O_{1}A'K:\sin\angle O_{2}A'K=(A'A \sin\angle O_{1}A'K):(A'A \sin\angle O_{2}A'K)=r_{1} : r_{2}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .