Задача 66747

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Бакаев Е.В., Кожевников П.А., Расторгуев В.

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

Решение

Точки биссектрисы угла $A$ между серой и чёрной сторонами деревянного треугольника равноудалены от этих сторон (серый цвет изображаем синим).Проведём через центры $O_{1}$ и $O_{2}$ серого и чёрного кругов прямые, параллельные этим сторонам. Пусть они пересекаются в точке $A'$. Поскольку угол $O_{1}A'O_{2}$, равный углу $A$, постоянен, описанная окружность Ω треугольника $O_{1}A'O_{2}$ не зависит от положения исходного треугольника. Так как радиусы серой и черной окружностей равны, точки прямой, содержащей указанную биссектрису , равноудалены от прямых $O_{1}A'$ и $O_{2}A'$, то есть эта прямая содержит биссектрису угла $O_{1}A'O_{2}$. Следовательно, она проходит через середину $K$ дуги $O_{1}O_{2}$ окружности Ω.

Замечания

1. 7 баллов.

2. См. также задачу 66754.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Дата	2018/19
Номер	40
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3