ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66747
Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

См. также задачу 66754.

Решение

Точки биссектрисы угла A между серой и чёрной сторонами деревянного треугольника равноудалены от этих сторон (серый цвет изображаем синим). Проведём через центры $O_{1}$ и $O_{2}$ серого и чёрного кругов прямые, параллельные этим сторонам. Пусть они пересекаются в точке $A'$. Поскольку угол $O_{1}A'O_{2}$, равный углу A, постоянен, описанная окружность $\Omega$ треугольника $O_{1}A'O_{2}$ не зависит от положения исходного треугольника.

Прямая l, содержащая биссектрису угла $O_{1}A'O_{2}$, проходит тогда через фиксированную точку K – середину дуги $O_{1}O_{2}$ окружности $\Omega$.

С другой стороны, точки прямой l равноудалены от прямых $O_{1}A'$ и $O_{2}A'$, а серая и чёрная стороны «отодвинуты» соответственно от $O_{1}A'$ и $O_{2}A'$ на одно и то же расстояние в сторону точки K (так как радиусы серого и чёрного кругов равны), откуда прямая l содержит и биссектрису угла А деревянного треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .