ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66712
Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
[ Алгебра и арифметика (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найдите все натуральные $n$, удовлетворяющие условию: числа $1, 2, 3, \ldots, 2n$ можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, получится квадрат натурального числа.

Решение

$1 + 2$ — не квадрат. Пусть $n > 1$.

Первый способ. Разобьём эти числа на четвёрки подряд идущих, и, если надо, шестёрку первых чисел. Из четвёрок образуем $(a + (a + 3))((a + 1) + (a + 2)) = (2a + 3)^2$, из шестёрки — $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)=18^2$.

Второй способ. Если $n$ чётно, то $(1 + 2n)(2 + (2n - 1))\ldots(n + (n + 1)) = (2n + 1)^n$ — квадрат. Если $n$ нечётно, то $(1 + 5)(2 + 4)(3 + 6)(7 + 2n)(8 + (2n - 1))\ldots((n + 3) + (n + 4)) = 18^2(2n + 7)^{n-3}$ — квадрат.

Замечание. Для $n = 2, 3$ разбиение единственно, в остальных случаях — нет.

Ответ

все $n > 1$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер 2
олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .