ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66714
Тема:    [ Взвешивания ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие — весят одинаково — и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжёлая, а какая более лёгкая?

Решение

Первый способ. Обозначим монеты буквами $a, b, c, d, e$. Настя попросит провести взвешивания: $a?b, c?d, ab?cd$. С точностью до симметрии возможны четыре исхода.
1) $a > b, c > d, ab > cd$. Тогда $a$ — тяжёлая, $d$ — лёгкая.
2) $a = b, c > d, ab = cd$. Тогда $c$ — тяжёлая, $d$ — лёгкая.
3) $a = b, c > d, ab > cd$. Тогда $e$ — тяжёлая, $d$ — лёгкая.
4) $a = b, c > d, ab < cd$. Тогда $c$ — тяжёлая, $e$ — лёгкая.

Второй способ. Настя отдаст эксперту четыре монеты и попросит взвесить все три разбиения их на пары. Пусть каждая из этих монет получит метку — сколько раз она была на перевесившей чаше. Для каждого вида оставшейся монеты запишем набор меток: настоящая — $2110$, лёгкая — $3111$, тяжёлая — $2220$. Видно, что все эти случаи различаются, и в каждом из них определяется вид обеих фальшивых монет.

Замечание. Можно доказать, что других способов у Насти нет.

Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Дата 2018/19
Номер 40
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 классы
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .