ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66762
Тема:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя написал стозначное число $X$, в записи которого нет нулей. Пятидесятизначное число, образованное первыми пятьюдесятью цифрами числа $X$, Петя назвал головой числа $X$. Оказалось, что число $X$ без остатка делится на свою голову. Сколько нулей в записи частного?

Решение

Припишем к голове числа $X$ справа $50$ нулей и вычтем полученное число из $X$. В результате останется «хвост» числа $X$, то есть число, образованное последними $50$ цифрами числа $X$. Как разность чисел, делящихся нацело на голову, хвост числа $X$ также на нее делится, причем частное не может быть двузначным: иначе бы в хвосте было больше цифр, чем в голове, а их поровну. Нулем это частное тоже быть не может, поскольку в записи $X$ нет нулей. Значит, частное от деления $X$ на голову состоит из единицы, $49$ нулей и однозначного (ненулевого) частного от деления хвоста на голову числа $X$.

Ответ

$49.$

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2021
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .