ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66764
УсловиеНесократимая дробь ab такова, что
ab=9991999+9991999⋅9981998+9991999⋅9981998⋅9971997+…+9991999⋅9981998⋅…⋅11001.
Найдите a и b. РешениеЗаметим, что в каждом слагаемом есть дробь 9991999. Вынесем ее за скобку:
ab=9991999(1+9981998+9981998⋅9971997+…+9981998⋅…⋅11001).
В каждом слагаемом в скобках, кроме 1, оставшейся от 9991999, будет дробь 9981998, которую тоже можно вынести за скобку:
ab=9991999(1+9981998(1+9971997⋅9961996+…+9971997⋅…⋅11001)).
А в скобках вновь в каждом слагаемом, кроме 1, оставшейся от 9981998, будет дробь 9971997, которую можно вынести за скобку. Такой процесс можно продолжать до тех пор, пока внутри скобок не останется сумма 1+11001:
ab=9991999(1+9981998(…(1+31003(1+21002(1+11001)))…)).
Теперь будем последовательно вычислять значение этого выражения изнутри наружу. Начнем с вычисления выражения в самых внутренних скобках:
(1+21002(1+11001))=(1+21002⋅10021001)=(1+21001).
Дальше это процедуру можно повторить:
(1+31003(1+21001))=(1+31003⋅10031001)=(1+31001).
Теперь мы можем высказать предположение и проверить его: на каждом шаге у нас будет получаться дробь вида k1001. Действительно, если уже получилась дробь k−11001, то на следующем шаге и правда получится k1001:
ab=9991999(1+9981998(…(1+k1000+k(1+k−11001))…))=
=9991999(1+9981998(…(1+k1000+k⋅1000+k1001)…))
=9991999(1+9981998(…(1+k1001)…)).
Продолжая таким образом, мы придем к ответу:
ab=…=9991999(1+9981998(1+9971001))=9991999(1+9981001)=9991001. Ответa=999, b=1001. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке