Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66764
Тема:    [ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Несократимая дробь ab такова, что ab=9991999+99919999981998+999199999819989971997++9991999998199811001. Найдите a и b.

Решение

Заметим, что в каждом слагаемом есть дробь 9991999. Вынесем ее за скобку: ab=9991999(1+9981998+99819989971997++998199811001). В каждом слагаемом в скобках, кроме 1, оставшейся от 9991999, будет дробь 9981998, которую тоже можно вынести за скобку: ab=9991999(1+9981998(1+99719979961996++997199711001)). А в скобках вновь в каждом слагаемом, кроме 1, оставшейся от 9981998, будет дробь 9971997, которую можно вынести за скобку. Такой процесс можно продолжать до тех пор, пока внутри скобок не останется сумма 1+11001: ab=9991999(1+9981998((1+31003(1+21002(1+11001))))). Теперь будем последовательно вычислять значение этого выражения изнутри наружу. Начнем с вычисления выражения в самых внутренних скобках: (1+21002(1+11001))=(1+2100210021001)=(1+21001). Дальше это процедуру можно повторить: (1+31003(1+21001))=(1+3100310031001)=(1+31001). Теперь мы можем высказать предположение и проверить его: на каждом шаге у нас будет получаться дробь вида k1001. Действительно, если уже получилась дробь k11001, то на следующем шаге и правда получится k1001: ab=9991999(1+9981998((1+k1000+k(1+k11001))))= =9991999(1+9981998((1+k1000+k1000+k1001))) =9991999(1+9981998((1+k1001))). Продолжая таким образом, мы придем к ответу: ab==9991999(1+9981998(1+9971001))=9991999(1+9981001)=9991001.

Ответ

a=999, b=1001.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2021
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .