Задача 66766

Тема:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Найдите трехзначное число, которое представимо в виде суммы и двух, и трех, и четырех, и пяти, и шести квадратов различных натуральных чисел. Достаточно привести один пример.

Решение

Объясним, как можно найти один из примеров. Когда свобода выбора слишком велика, бывает полезно наложить дополнительное условие. Будем искать пример, в котором пример на $k$ квадратов получается из примера на $k+1$ квадрат заменой суммы двух квадратов на другой квадрат. В этом нам помогут пифагоровы тройки.

Одна из них хорошо известна: $3^2+4^2=5^2$. Т.е. если у нас в представлении числа есть $3^2+4^2$, то мы можем заменить эту сумму на $5^2$ и количество квадратов в представлении уменьшится на один. Заметим, что есть еще пифагорова тройка, содержащая $5$: это $5$, $12$, $13$. Т.е. $3^2+4^2+12^2$ можно вначале поменять на $5^2+12^2$, а потом на $13^2$.

Можно было бы продолжать похожий процесс: есть пифагорова тройка, в которую входит 13: $13^2+84^2=85^2$. Однако $84^2$ это уже четырехзначное число. Вместо этого домножим уже имеющийся у нас пример на $2^2$: $6^2+8^2+24^2=10^2+24^2=26^2$. Теперь понятно, что нам подходит число $(3^2+4^2+12^2)+(6^2+8^2+24^2)=845$.

Ответ

Например, подойдет $$845 = 3^2+4^2+12^2+6^2+8^2+24^2 = 5^2+12^2+6^2+8^2+24^2 = 13^2+6^2+8^2+24^2 = 13^2+10^2+24^2 = 13^2+26^2.$$

Замечания

1) О пифагоровых тройках и о том, как они устроены, можно почитать в статье С. Воронина и А. Кулагина «О задаче Пифагора» (журнал «Квант», 1987 г., № 1).

2) Полный список подходящих чисел (найденный с использованием компьютера): $146, 169, 170, 178, 180, 181, 194, 200, 202, 218, 226, 229, 234, 241, 244, 250, 257, 260, 265, 269$, $274, 277, 281, 289, 290, 293, 296, 298, 305, 306, 313, 314, 317, 325, 337, 338, 346, 349, 353, 356$, $360, 362, 365, 369, 370, 373, 377, 386, 389, 394, 397, 401, 404, 405, 409, 410, 421, 424, 425, 433$, $436, 442, 445, 449, 450, 452, 457, 458, 461, 464, 466, 468, 477, 481, 482, 485, 488, 490, 493, 500$, $505, 509, 514, 521, 522, 530, 533, 538, 541, 545, 548, 549, 554, 557, 562, 565, 569, 577, 578, 580$, $584, 585, 586, 593, 596, 601, 605, 610, 612, 613, 617, 625, 626, 628, 629, 634, 637, 641, 650, 653$, $656, 657, 661, 666, 673, 674, 676, 677, 680, 685, 689, 692, 698, 701, 706, 709, 712, 720, 724, 725$, $730, 733, 738, 740, 745, 746, 754, 757, 761, 765, 769, 773, 776, 778, 785, 788, 793, 794, 797, 800$, $801, 802, 808, 809, 810, 818, 820, 821, 829, 833, 841, 842, 845, 848, 850, 853, 857, 865, 866, 872$, $873, 877, 881, 884, 890, 898, 900, 901, 904, 905, 909, 914, 916, 922, 925, 929, 932, 936, 937, 941$, $949, 953, 954, 962, 964, 965, 970, 976, 977, 980, 981, 985, 986, 997.$

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2021
задача
Номер	8