Задача 66771

Темы:    [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Штейнгарц Л.

Внутри окружности расположен прямоугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $DA$ пересекают окружность в точках $A_1$ и $A_2$. Точка $A_0$ – середина хорды $A_1A_2$. Аналогично определяются точки $B_0$, $C_0$, $D_0$. Докажите, что отрезки $A_0C_0$ и $B_0D_0$ равны.

Решение

Пусть $X$, $Y$ – проекции центра окружности на прямые $AB$, $CD$ соответственно (см. рис.).

Тогда $BB_1-AA_1=(XB_1-XB)-(XA_1-XA)=AX-BX=DY-CY=CC_1-DD_1$. Следовательно, проекция отрезка $A_0C_0$ на прямую $AB$, равная $(A_1B_1+C_1D_1-AA_1-CC_1)/2$, равна проекции на ту же прямую отрезка $B_0D_0$. Аналогично равны проекции этих отрезков на прямую $AD$, а значит и сами отрезки.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
Заочный тур
задача
Номер	3 [8 кл]