Условие
Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.
Решение
Пусть $T'$ – точка пересечения $\omega_1$ с лучом $AC$. При гомотетии с центром $T'$, переводящей $C$ в $A$, лучи $CB$, $CD$ переходят в лучи $AD$, $AB$ соответственно. Поэтому окружность $\omega_1$ переходит в окружность $\omega'$, касающуюся этих лучей и $\omega_1$ в точке $T'$. Следовательно, $\omega'$ совпадает с $\omega_2$, а $T'$ – с $T$.
Источники и прецеденты использования
