Условие
Сторона $AC$ треугольника $ABC$ касается вписанной окружности в точке $K$, а соответствующей вневписанной в точке $L$. Точка $P$ – проекция центра вписанной окружности на серединный перпендикуляр к $AC$. Известно, что касательные в точках $K$ и $L$ к описанной окружности треугольника $BKL$ пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $AB$ и $BC$ касаются окружности $PKL$.
Решение
Будем считать, что $AB>BC$. Пусть $M$ – середина $AC$, $N$ – середина дуги $ABC$, $NW$ и $KD$ – диаметры описанной и вписанной окружностей соответственно. Из условия получаем, что касательные к окружности $BKL$ в точках $K$ и $L$ пересекаются в точке $W$, т.е. $BW$ – симедиана треугольника $BKL$. Кроме того, точки $B$, $D$, $L$ лежат на одной прямой, а прямая $BW$ делит отрезок $KD$ пополам. Поэтому треугольники $BKL$ и $BDK$ подобны, т.е. $\angle BMC=\angle BID=(\angle C-\angle A)/2$. Тогда $\angle BMN=(\pi-\angle C+\angle A)/2=\angle BNM$ и $BM=BN$. Пусть $S$ – такая точка на дуге $AWC$, что $\angle SBC=\angle ABM$. Тогда $\angle SNB=\angle ABM+\angle BAC=\angle BMC=\angle NSB$, т.е. $BS=BN=BM$.
Из подобия треугольников $ABM$ и $SBC$ получаем, что $AB\cdot BC=BM\cdot BS=BM^2=(2AB^2+2BC^2-AC^2)/4$. Следовательно, $AC^2=2(AB-BC^2)$ или $AC=\sqrt{2}KL$. Применив теорему Стюарта к треугольнику $AWC$ и чевиане $WK$, получаем $WK^2=WC^2-AK\cdot KC=WI^2-(AM^2-MK^2)=WI^2-MK^2=WI^2-PI^2=WP^2$ (по теореме о трезубце $WC=WI$). Таким образом, точки $P$, $K$, $L$ лежат на окружности с центром $W$.
Пусть $R$, $r$ – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$. Тогда расстояние от $W$ до прямой $AB$ равно $BW\sin\frac{\angle B}2=2R\cos\frac{\angle C-\angle A}2\sin\frac{\angle B}2=R(\sin\angle A+\sin\angle C)$. По теореме Карно $R+r=R(\sin\angle A+\sin\angle B+\sin\angle C)$, следовательно, это расстояние равно $R(1-\cos\angle B)+r=WM+MP=WP$, что равносильно утверждению задачи.
Источники и прецеденты использования
