Задача 66792
|
|
 |
Условие
Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от $1$ до $8$ так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало $\frac{4}{5}$? А чтобы не превышало $\frac{13}{16}$?Решение
Пусть $\kappa = A_1A_2 \ldots A_8$ – один из двух кубов, причем $A_1A_2A_3A_4$ – его грань и вершина $A_i$ смежна с $A_{i + 4}$ при всех $i=1,2,3,4$; обозначим через $d_1$, $d_2$, $d_3$, $d_4$ диагонали $\kappa$. Пусть $\lambda$ – второй куб, а $e_1$, $e_2$, $e_3$, $e_4$ – его диагонали. Обозначим общий центр кубов через $O$, а их описанную сферу через $s$. Пусть $\mu$ – отрезок, меньший диаметра $s$, а $\alpha$ – центральный угол, соответствующий хорде $\mu$ сферы $s$.
Рассмотрим множество $S_i$ диагоналей $e_j$ таких, что угол между $d_i$ и $e_j$ не превосходит $\alpha$. Предположим, что для каждого $1 \le k \le 4$ объединение $k$ множеств $S_i$ содержит хотя бы $k$ элементов. Тогда по лемме Холла можно выбрать представителя $e'_i$ из каждого $S_i$ так, что все четыре представителя будут различны, и, сопоставив концам каждой диагонали $d_i$ концы соответствующей $e'_i$, получим, что расстояния между вершинами каждой пары не превосходит $\mu$.
Рассмотрим теперь различные значения $k$ и найдем соответствующие границы для $\mu$.
$k = 4$: пусть $P$ – центр сферической шапочки, отсекаемой от $s$ плоскостью $A_1A_2A_3A_4$. (Т.е. $P$ – такая точка на $s$, что $PA_1 = PA_2 = PA_3 = PA_4$ и $A_1A_2A_3A_4$ разделяет $O$ и $P$.)
Нам нужно, чтобы объединение восьми шапочек с центрами $A_i$ и радиусами $\alpha$ содержало все вершины $\lambda$, т.е. покрывало $s$. Это равносильно условию $\mu \ge PA_1$; обозначим $PA_1=\mu_4$.
$k = 3$: пусть $Q$ – такая точка меньшей из дуг большого круга $\smile {A_1A_3}$, что $A_2Q = A_4Q = \mu$ и $A_1Q \le QA_3$. Аналогично определим $R$ и $S$ на дугах $\smile {A_1A_6}$ и $\smile {A_1A_8}$.
Можно считать, что объединение шапочек с центрами $A_2$, $A_4$, $A_5$, $A_3$, $A_6$, $A_8$ и радиусами $\alpha$ содержит не менее шести вершин $\lambda$. Это равносильно тому, что дополнение этого объединения содержит не более двух вершин $\lambda$. Это дополнение состоит из двух связных компонент, симметричных относительно $O$; следовательно, каждая из компонент содержит не более одной вершины $\lambda$. Одна из этих компонент лежит внутри равностороннего сферического треугольника $QRS$ и содержит точки сколь угодно близкие к $Q$, $R$, и $S$, значит, необходимо и достаточно выполнение неравенства $QR \le 1$ или $\mu \ge \mu_3$, где $\mu_3$ – значение $\mu$, при котором достигается равенство. Легко убедиться, что $\mu_3 > \mu_4$.
При $k = 2$ и $k = 1$ обозначим через $T_i$ множество всех $d_j$, для которых угол между $e_i$ и $d_j$ не превосходит $\alpha$.
$k = 2$: предположим, что $S_1 \cup S_2$ не содержит $e_1$, $e_2$ и $e_3$. Тогда $T_1 \cup T_2 \cup T_3$ не содержит $d_1$ и $d_2$. Из случая $k = 3$ известно, что для исключения этого случая должно быть $\mu \ge \mu_3$.
$k = 1$: предположим, что $S_1$ не содержит $e_i$. Тогда объединение всех $T_i$ не содержит $d_1$. Из случая $k = 4$ известно, что для исключения этого случая должно быть $\mu \ge \mu_4$.
Таким образом, $\mu \ge \mu_3$ всегда подходит. Чтобы убедиться, что $\mu < \mu_3$ не подходят, рассмотрим куб $\lambda$ с центром $O$ и ребром $QR$, построенным при разборе случая $k = 3$. Не более одной из вершин $Q$ и $R$ куба $\lambda$ могут быть сопоставлены $A_1$; но для любой другой вершины $\kappa$ расстояние до второй из этих точек не меньше $\mu_3$. Таким образом, наименьшее расстояние, удовлетворяющее условию задачи, равно $\mu_3 = \sqrt{\frac{9 - 2\sqrt{2} - \sqrt{5}}{6}}$. Поскольку $\frac{4}{5} < \mu_3 < \frac{13}{16}$, ответ на первый вопрос задачи отрицательный, а на второй положительный.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
| год | |
| Год | 2019 |
| Заочный тур | |
| задача | |
| Номер | 24 [11 кл] |
