Задача 66794

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Рябов П.

Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $M$, что $AM = \frac{1}{2} AB$, а $CM = \frac{1}{2} BC$. Точки $C_0$ и $A_0$ взяты на отрезках $AB$ и $CB$ соответственно, причем $BC_0 : AC_0 = BA_0 : CA_0 = 3$. Докажите, что $M$ равноудалена от $C_0$ и $A_0$.

Решение

Пусть $K$, $L$, $U$, $V$ – середины отрезков $AB$, $BC$, $AM$, $MC$ соответственно. Так как треугольники $AKM$ и $CLM$ – равнобедренные, а $KU$, $LV$ – средние линии треугольников $ABM$, $CBM$ соответственно, то $MA_0 = LV = \frac{1}{2} BM = KU = MC_0$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	8
задача
Номер	8.2