Задача 66796

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Авторы: Дидин М., Фролов И.И.

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.

Решение

Так как $\angle OKY=\angle OAY=90^{\circ}$, точки $K$ и $A$ лежат на окружности с диаметром $OY$, т.е. $\angle OYX=\angle OAK=\angle B-\angle C$. Далее, пусть $M$ – середина $BC$. Тогда $KHMO$ – параллелограмм, т.е. у треугольников $AKX$ и $CMH$ соответствующие стороны перпендикулярны. Следовательно, эти треугольники подобны и $\frac{KX}{OK} = \frac{KX}{HM} = \frac{AK}{CM} = \frac{OM}{CM}$. Значит, прямоугольные треугольники $OKX$ и $CMO$ подобны, и $\angle OXK=\angle COM=\angle A$. Таким образом, $\angle XOY=2\angle C=\angle AOB$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	8
задача
Номер	8.4