|
|
 |
Условие
Корабль в тумане пытается пристать к берегу. Экипаж не знает, в какой стороне находится берег, но видит маяк, находящийся на маленьком острове в $10$ км от берега, и понимает, что расстояние от корабля до маяка не превышает $10$ км (точное расстояние до маяка неизвестно). Маяк окружен рифами, поэтому приближаться к нему нельзя. Может ли корабль достичь берега, проплыв не больше $75$ км? (Береговая линия – прямая, траектория до начала движения вычерчивается на дисплее компьютера, после чего автопилот ведет корабль по ней.)Решение
Пусть корабль находится в точке $K$, маяк – в точке $M$, а $K'$ – точка на луче $KM$ такая, что $KK'=10$ км. Чтобы корабль причалил к берегу, выпуклая оболочка его траектории должна содержать круг с центром $M$ и радиусом $KK'$, но, поскольку положение точки $M$ на отрезке $KK'$ неизвестно, то выпуклая оболочка должна содержать объединение всех таких кругов с центрами на $KK'$. Очевидно, что это условие будет и достаточным.
Пусть $\omega$, $\omega'$ – окружности с центрами $K$, $K'$ соответственно и радиусами, равными $KK'$, $CC'$ и $DD'$ – общие касательные к этим окружностям, $X$ – точка на прямой $CC'$ такая, что $\angle XKC=30^{\circ}$, $XA$ – касательная к $\omega$, $B$ – середина дуги $C'D'$, лежащей вне $\omega$, $Y$ – проекция $B$ на $CC'$. Тогда путь $KXADD'BY$ удовлетворяет условию, а его длина равна $10 (\sqrt{3}+2\pi/3+1+\pi/2+1) < 74$ км.
