Задача 66810

Тема:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Пусть $A_1$, $B_1$, $C_1$ – середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$, $K$ – основание высоты, проведенной из вершины $A$, а $L$ – точка касания вписанной окружности $\gamma$ со стороной $BC$. Описанные окружности треугольников $LKB_1$ и $A_1LC_1$ вторично пересекают прямую $B_1C_1$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Окружность $\gamma$ пересекает эту прямую в точках $Z$ и $T$. Докажите, что $XZ = YT$.

Решение

Так как $BC\parallel B_1C_1$, четырехугольники $KB_1XL$ и $A_1LYC_1$ являются равнобокими трапециями. Поэтому $\angle BLX=\angle CKB_1=\angle BA_1C_1=\angle CLY$, т.е. $X$ и $Y$ симметричны относительно прямой $IL$ ($I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$). Очевидно, что $Z$ и $T$ также симметричны относительно $IL$, следовательно, $XZ=YT$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2019
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2