Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66810
Тема:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Пусть A1, B1, C1 – середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC, K – основание высоты, проведенной из вершины A, а L – точка касания вписанной окружности γ со стороной BC. Описанные окружности треугольников LKB1 и A1LC1 вторично пересекают прямую B1C1 в точках X и Y соответственно. Окружность γ пересекает эту прямую в точках Z и T. Докажите, что XZ=YT.

Решение

Так как BCB1C1, четырехугольники KB1XL и A1LYC1 являются равнобокими трапециями. Поэтому BLX=CKB1=BA1C1=CLY, т.е. X и Y симметричны относительно прямой IL (I – центр вписанной окружности треугольника ABC). Очевидно, что Z и T также симметричны относительно IL, следовательно, XZ=YT.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2019
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .