|
|
 |
Условие
Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$; $A_0$, $C_0$ – точки пересечения описанной окружности треугольника $A_1BC_1$ с прямыми $A_1B_1$ и $C_1B_1$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_0$ и $CC_0$ пересекаются на медиане треугольника $ABC$ или параллельны ей.Решение
Пусть прямые $AA_0$ и $BC$ пересекаются в точке $X$, а прямые $CC_0$ и $AB$ – в точке $Y$. Достаточно доказать, что $BX:XC=BY:YA$. Поскольку центр окружности $A_1BC_1$ лежит на прямой $BB_1$, являющейся биссектрисой угла $A_1B_1C_1$, точки $A_0$ и $C_1$ симметричны относительно прямой $BB_1$, так же, как и точки $A_1$ и $C_0$.
Пусть $BA_0$ и $AC$ пересекаются в точке $Z$. Тогда, применяя теорему Менелая к треугольнику $BCZ$ и прямой $AA_0X$, получаем, что $$\frac{BX}{XC}=\frac{BA_0}{A_0Z} \cdot \frac{ZA}{AC} = \frac{2}{AC}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}\cdot AB_1.$$ Аналогично получаем выражение для $\frac{BY}{YA}$, после чего остается доказать, что $\frac{BC_1}{C_1A}\cdot AB_1=\frac{BA_1}{A_1C} \cdot CB_1$. Но это в точности теорема Чевы для ортоцентра.
