|
|
 |
Условие
У Васи есть неограниченный запас брусков 1×1×3 и уголков из трёх кубиков 1×1×1. Вася целиком заполнил ими коробку m×n×k, где $m, n, k$ – целые числа, большие 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.
Решение
Так как $mnk$ делится на 3, то один из множителей делится на 3; пусть это высота $k$. Достаточно заполнить коробку m×n×3. Из двух уголков можно сложить кирпич 1×2×3. Если $mn$ чётно, то основание коробки можно разбить на доминошки 2×1 и поставить на них по кирпичу, заполнив тем самым коробку. Иначе разобьём основание коробки на квадрат 3×3 и два прямоугольника (возможно пустых), см. рисунок.
Прямоугольники разобьём на доминошки, а квадрат – как на рисунке. На доминошки поставим по кирпичу, а в оставшееся место положим три уголка. Коробка заполнена уголками.
Замечания
5 баллов
