Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором AE || CD и $AB = BC$. Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что BK || AE.
|
|
 |
Условие
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором AE || CD и $AB = BC$. Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что BK || AE.
Решение
Пусть биссектриса угла $C$ пересекает прямую $AE$ в точке $F$, а прямая, проходящая через $B$ параллельно $AE$, пересекает отрезок $CF$ в точке $X$. Тогда $\angle BXC = \angle DCX = \angle BCX$. Отсюда $BX = BC = BA$. Значит, $\angle BAX = \angle BXA = \angle FAX$. Следовательно, $AX$ – биссектриса угла $A$, поэтому $X$ совпадает с $K$ и BK || AE.
Замечания
1. На рисунке точка $F$ лежит на стороне $AE$, но в решении это не используется. Можно, впрочем, доказать, что биссектриса угла $C$ не может пересекать сторону $AB$ (а сторону $ED$ – может).
2. 4 балла.
